قراءة لمدة 5 دقيقة نظرية الاحتمال: إحتمالات أولية

المقدمة

تعريف:

الاحتمال هو دراسة التجارب العشوائية. على سبيل المثال، إذا قمنا برمي مكعب نرد، وإذا كررنا هذه التجربة عدة مرات متتالية (ر) مرة، فإن الاحتمال أن يظهر الرقم 6 على الوجه العلوي (و) مرة هو النسبة: و \ ر

إذا ما اعتبرنا أن الحدث "ظهور الرقم 6 على الوجه العلوي لمكعب النرد" هو الحرف (أ)، إذًا

ح(أ) = و \ ر

تعليق :

نفترض هنا أن وجوه النرد ليست مشوهة بحيث يكون احتمال ظهور رقم على الوجه هو نفسه.

بالتالي نقول إن أحداث "ظهور رقم من 1 إلى 6 على الجانب العلوي من حجر النرد" متساوية في الاحتمال؛ في هذه الحالة، سنخصص الاحتمال (1\ر) لكل حدث، بحيث أن (ر) هو عدد الرميات للنرد.

​

تمديد مفهوم الاحتمالية

تأطير الاحتمالات:

يُطلق مصطلح "حدث" على مجموعة نتائج (أو احتمالات) من الفضاء العيني (ويرمز له Ω)، بالتالي فالحدث هو مجموعة فرعية من Ω، ويتكون الحدث البسيط أو الاحتمالية من عنصر واحد فقط من Ω. إذا كان Ω مكونًا من عناصر متساوية الاحتمال وكان هناك حدث (أ)، فيمكن حساب احتمالية حدث (أ) على النحو التالي:

ح(أ) = عدد عناصر أ \ عدد العناصر في Ω

مثال:

في تجربة رمي النرد، فضاء الاحتمال (Ω) هو {1، 2، 3، 4، 5، 6}. لذلك، إذا كان لدينا حدث (أ) يمثل "ظهور رقم زوجي" وحدث (ب) يمثل "ظهور رقم فردي"، فيمكن تعبئة (أ) بالعناصر {1، 3، 5} و (ب) بالعناصر {2، 4، 6}.

وبالتالي، يمكن حساب احتمالية حدوث (أ) على النحو التالي:

ح(أ)= عدد عناصر (أ) \ عدد العناصر في Ω وهو يعادل 3 \ 6 = 1 \ 2.

ويمكن حساب احتمالية حدث (ب) بنفس الطريقة، وهي أيضًا 3 \ 6 = 1 \ 2.

ولاحظ أن مجموع احتمالات (أ) و (ب) يساوي واحد، لأن الأرقام على نرد إما زوجية (أ) أو فردية (ب).

الفصل في الاحتمالات أمر أساسي لنمذجة وفهم الظواهر العشوائية وألعاب الحظ. يتيح لنا ذلك قياس فرصة حدث معين باستخدام المفاهيم الرياضية.

التعريف والخصائص:

احتمال وقوع حدث أ ⊂ Ω (أي حدث (أ) من الفضاء العيني)، يُشار إليه بـ ح[أ]، وهو رقم حقيقي يتم الحصول عليه من خلال تطبيق الدالة (ح) على (أ) والتي لها الخصائص التالية:

• 0 <= ح[أ] <= 1
• إذا كان (أ) يساوي Ω فهذا معناه أن ح[أ] = 1، وأيضا ح[ل] = 0
• ح[ل] تعني الحدث الفارغ، أي احتمال عدم حدوث أي شيء.
• إذا كان (أ) = أ(1) ∪ أ(2) ∪ أ(3) … ∪ أ(ر)، مع كون ت = 1، … ر.
• فإن ح[أ] = مجموع ح[أ(ت)] - ح[∩ أ(ت)]

ملاحظة: إذا كان (أ) = أ(1) ∪ أ(2) ، وكان أ(1) و أ(2) متنافرين (أي لا يمكن أن يحدثا في نفس الوقت)، فهذا يعني أن: ح[أ] = ح[أ(1)] + ح[أ(2)]

الاحتمالات المشروطة

تعريف :

يتم تعريف الاحتمال الشرطي للحدث (أ)، على أنه يحدث بشرط حدوث (ب)، (ويشار إليه) بواسطة:

ح[أ | ب] = ح[أ ∩ ب] \ ح[ب]

ومن هذا التعريف نحصل على القاعدة التالية: ح[أ ∩ ب] = ح[أ | ب] * ح[ب]

الأحداث المستقلة:

يعتبر الحدثان (أ) و(ب) مستقلين إذا كان احتمال الحدث (أ) بشرط وقوع الحدث (ب) يساوي احتمال الحدث (أ) نفسه، والذي يُشار إليه بالرمز ح[أ | ب] = ح[أ].

وبالمثل، يكون (أ) و(ب) مستقلين إذا كان احتمال الحدث (ب) نظرًا لوقوع الحدث (أ) يساوي احتمال الحدث (ب) نفسه، والذي يُشار إليه بالرمز ح[ب | أ] = ح[ب].

قاعدة الضرب:

وفقًا لقاعدة ضرب الاحتمال، إذا كان (أ) و(ب) حدثين مستقلين، فإن احتمال تقاطعهما (أ ∩ ب) هو حاصل ضرب احتمالات كل حدث على حدة: ح(أ ∩ ب) = ح[أ] * ح[ب].

بمعنى آخر، إذا كان الحدثان (أ) و(ب) مستقلين، فهذا يعني أن وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمالية الآخر، ويمكنك ببساطة ضرب احتمالاتها للحصول على احتمال تقاطع هذين الحدثين، وهذا مفهوم أساسي في علم الاحتمال.

صيغة قاعدة الاحتمال الإجمالي

تنطبق صيغة قاعدة الاحتمال الإجمالي عندما يكون لديك مجموعة من الأحداث {أ(1)، أ(2)، أ(3)… أ(ت)} غير متوافقة (أي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد) وشاملة (أي أن اتحادها يغطي كامل فضاء الاحتمال Ω).

تسمى هذه العائلة {أ(ت)} بتجزيء لـ Ω، حيث أن هذا الأخير هو الفضاء الكامل لجميع النتائج الممكنة.

وهذا نعبر عنه بالتالي:

إذا كان أ(ب) ∩ أ(ج) = ∅ (المجموعة الفارغة)، وكانت (ب) != (ت)، فإن: مجموع( ∪أ(ب) ) = Ω.

ليكن (أ) حدث معين مع كون أ(ب) هو جزء من Ω، إذا:

ح[أ] = مجموع ( ح[ أ ∩ أ(ب) ] ) = مجموع( ح[ أ | أ(ب) ] * ح[ أ(ب) ] ).

قاعدة بايز

صيغة أو قاعدة بايز هي أداة رئيسية في مجال الاحتمال والإحصاء، تُستخدم لتحديث الاحتمالات بناءً على المعلومات الجديدة. تسمح هذه القاعدة بحساب الاحتمال الشرطي لحدث ما (أ) بناءً على حدث آخر (ب) قد حدث قبله.

الصيغة تكتب كالتالي:

ح[ أ | ب ] = ( ح[ ب | أ ] * ح[أ] ) \ ح[ب]

حيث أن:

• ح[ أ | ب ]: هو احتمال حدوث (أ) بشرط حدوث (ب).
• ح[ ب | أ ]: هو احتمال حدوث (ب) بشرط حدوث (أ).
• ح[أ]: هو احتمال حدوث (أ) قبل معرفة شيء عن حدوث (ب).
• ح[ب]: هو احتمال حدوث (ب) قبل معرفة شيء عن حدوث (أ).

تحديث: صدر الجزء الثاني تحت عنوان: نظرية الاحتمال (جزء 2): المتغيرات العشوائية المنفصلة (انقر هنا للإطلاع)

-عبدالناصر البصري

للتواصل المباشر، تويتر: @abdennacerelb