قراءة لمدة 5 دقيقة نظرية الاحتمال (جزء 2): المتغيرات العشوائية المنفصلة

مقدمة:

هذا هو الجزء الثاني من سلسلة "نظرية الاحتمال" حيث أحاول عمل تطبيق عملي لتعريب الرموز الرياضياتية مع شرح لها، وهو النموذج الأول الذي سأبني عليه "لغة الترميز العربية" بإذن الله.

قد يكون هذا النص قد تغير في المادة النهائية بعد المناقشة والحصول على ملاحظات المجتمع الرقمي (المهتم) حوله وأخذ تعديلاتهم ومقترحاتهم بعين الاعتبار أثناء إنجاز المادة النهائية، التي سأنشرها في مكتبة المواد المترجمة هنا في دار المترجم.

نص المقال:

المتغيرات العشوائية وقوانين الاحتمالات (جزء 1)

المتغيرات العشوائية المنفصلة

المتغير العشوائي:

المتغير العشوائي هو نوع من الدوال الرياضية التي تمنح قيماً عددية (أعداد حقيقية) لنتائج ممكنة في تجربة عشوائية. تلك التجربة عشوائية غالباً ما تكون معرفة في مساحة العينات (المجموعة من جميع النتائج المحتملة).

المتغير العشوائي المنفصل:

يعتبر المتغير العشوائي من النوع المنفصل إذا كانت مجموعة القيم المميزة التي يمكن أن يأخذها إما منتهية أو قابلة للعد (أي أن هناك تطابق واحد لواحد مع مجموعة الأعداد الطبيعية) ، حتى لو كانت هذه المجموعة لا نهائية).

دالة الكتلة:

إذا كانت الدالة ح[أ] مرتبطة بكل قيمة لـ (أ) المنتمية للمجموعة {أ(1), أ(2), ...}.

فإن احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المنفصل (ب) هذه القيمة هو ما يسمى دالة الكتلة، ونعبر عنها كما يلي: على أنها ح[ ب(أ) ] = ح[ب = أ]، حيث تمثل ح[ ب = أ ] احتمال أن يأخذ المتغير (ب) القيمة (أ).

مثال: على سبيل المثال، إذا قمنا برمي نرد متوازن وسجلنا العدد الذي ظهر عند الرمي، في هذه الحالة، المتغير العشوائي (ب) يمثل العدد الذي ظهر على النرد.

دالة الكتلة ستحتوي على الاحتمالات المختلفة لظهور كل عدد من 1 إلى 6، حيث يتم تعبئة الدالة بقيم محتملة مثل ح[ ب(1) ] = ح[ ب = 1] وهكذا:

دالة التجزيء:

دالة التجزيء أو دالة التوزيع التراكمي في علم الإحصاء ونظرية الاحتمالات هي دالة تحدد ما هو احتمال أن تكون قيمة متغير عشوائي ما أقل من أو تساوي قيمة معينة. أو بمعنى آخر، فإنها دالة تعطي توزيع الاحتمالات لمتغير عشوائي على أن تكون قيمته عددا حقيقيا.

هذا الإحتمال يُعرف ب: ح[ ب ≤ أ ].

وتُعرف الدالة على النحو التالي:

ف[ ب(أ) ] = مجموع ح[ ب(أ(ك))] ، مع كون (أ(ك) < = أ)

حيث:

• ف[ ب(أ) ] هي الوظيفة التوزيعية للمتغير العشوائي (ب).
• (أ) هو قيمة معينة ترغب في حساب الاحتمال التراكمي لها.
• ح(ب ≤ أ) هو الاحتمال الذي يشير إلى أن المتغير العشوائي (ب) يأخذ قيمة أقل من أو تساوي (أ).

قوانين احتمالية المتغيرات المنفصلة (مجال محدد)

التوزيع ثنائي الحدين:

التوزيع الاحتمالي الثنائي أو ذو الحدين أو قانون التوزيعات الحدّانية هو توزيع لتجربة عشوائية لها ناتجان فقط أحدهما نجاح التجربة والآخر فشلها ويكون الشرط الأساسي أن احتمال النجاح لا يتأثر بتكرار التجربة. أمثلة: رمي قطعة نقود، الإحصاءات أو الأسئلة التي تعتمد الإجابة لا أو نعم.

فيما يلي العناصر الأساسية لقانون التوزيع ثنائي الحدين:

• المحاولات المستقلة والمتطابقة: يفترض قانون ذو الحدين أن المحاولات مستقلة عن بعضها البعض، وهذا يعني أن نتيجة كل تجربة لا تؤثر على نتائج المحاكمات السابقة أو المستقبلية. علاوة على ذلك، فإن التجارب موزعة بالتساوي، مما يعني أن احتمال النجاح (ن) واحتمال الفشل (فـ) ثابتان من تجربة إلى أخرى.
• عدد الاختبارات (ع): يتم تعريف قانون ذو الحدين لعدد محدد من الاختبارات، ويشار إليه بـ (ع). على سبيل المثال، يمكنك استخدامه لنمذجة عدد مرات النجاح في 10 رميات للعملات المعدنية.
• احتمال النجاح (ن): كل تجربة لديها احتمال ثابت للنجاح، ويشار إليه (ع). على سبيل المثال، في حالة رمي العملة بشكل متوازن، فإن احتمال النجاح (الحصول على صورة) هو 0.5.

المتغير العشوائي (أ): نموذج قانون ذو الحدين لعدد النجاحات في التجارب (ع)، وهو متغير عشوائي يرمز له بـ أ. يمكن لـ (أ) أن يأخذ قيمًا صحيحة من 0 إلى (ع).

دالة الاحتمالية ح[أ]: تعطي دالة الاحتمالية ذات الحدين احتمالية كل عدد ممكن من النجاحات، ح[أ = ص]، حيث (ص) هو عدد صحيح بين 0 و (ع).

يتم إعطاء هذه الوظيفة بواسطة الصيغة:

ح[أ = ص] = (ع لـ ص) * ح^ص * (1 - ح)^(ع - ص)

حيث أن:

• (ع لـ ص) هو معامل ذو الحدين، والذي يقيس عدد الطرق لاختيار نجاحات (ص) بين التجارب (ع).
• يمثل ح[ص] احتمالية الحصول على نجاحات (ص).
• (1 - ح)(ع - ص) يمثل احتمال حدوث حالات فشل (ع - ص).

التوقع والتباين:

التوقع (المتوسط) للتوزيع ذي الحدين هو ت(أ) = ص*ح وتباينه هو ب(أ) = ص * (1 - ح).

يُستخدم التوزيع ذو الحدين على نطاق واسع لنمذجة المواقف التي تكون فيها التجارب مستقلة وموزعة بشكل متطابق، وحيث نريد حساب عدد النجاحات في عدد محدد من التجارب.

يتم استخدامه بشكل شائع في مجالات مثل الإحصاء والاحتمالات وبحوث العمليات والعلوم الاجتماعية.

توزيع فوق هندسي:

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، التوزيع الهندسي الفائق هو توزيع احتمالي منفصل يصف احتمالية النجاح في عمليات السحب، دون استبدال، من مجموعة سكانية محدودة الحجم تحتوي على كائنات بالضبط بتلك الميزة، حيث يكون كل سحب إما نجاحاً أو فشلاً (في المقابل، يصف التوزيع ذو الحدين احتمالية النجاح في عمليات السحب مع الاستبدال).

المعلمات الرئيسية لقانون الهندسة الفائقة هي:

• ج: الحجم الإجمالي للسكان.
• ص: عدد العناصر في السكان الذين ينتمون إلى المجموعة الأولى (مثل العناصر المعيبة).
• م: حجم العينة بدون استبدال.
• أ: المتغير العشوائي الذي يمثل عدد النجاحات في العينة.

يتم إعطاء دالة الاحتمال لقانون الهندسة الفائقة بواسطة:

ح(أ = ص) = (ص لـ د) * ((ج - ص) لـ (م - د)) / (ج لـ م)

حيث يمثل (لـ) معامل ذو الحدين، والذي يقيس عدد الطرق لاختيار عناصر (د) من مجموعة معينة ((ع) في هذه الحالة).

يُستخدم قانون الهندسة الفائقة بشكل شائع في مجالات مثل مراقبة الجودة، واختيار العينة دون استبدال، والمسوحات، وغيرها من المواقف التي تحتاج فيها إلى مراعاة أن العينة وكونها تؤثر على السكان؛ وهو يختلف عن التوزيع ذي الحدين، والذي يستخدم عند أخذ العينات مع الاستبدال، مما يعني إعادة العناصر إلى المجتمع بعد كل عينة.

توزيع هندسي

القانون الهندسي هو توزيع احتمالي منفصل يمثل عدد التجارب المطلوبة لتحقيق النجاح الأول في سلسلة من التجارب المستقلة والموزعة بشكل متماثل، حيث يكون لكل تجربة نتيجتين محتملتين: النجاح (ن) أو الفشل (ف).

الخصائص الرئيسية للقانون الهندسي هي كما يلي:

الصيغة هي كما يلي:

ح[أ = ص] = ح * (1 - ح)^(ك-1)

حيث ص هو عدد التجارب المطلوبة.

التوقع والتباين:

التوقع (المتوسط) للقانون الهندسي هو ت(أ) = 1/ح، والتباين هو ب(أ) = (1 - ح) / (ح^2).

يُستخدم القانون الهندسي بشكل شائع لنمذجة المواقف مثل عدد المحاولات المطلوبة لإكمال حدث معين بنجاح، مثل الحصول على الرأس الأول عند رمي عملة معدنية متوازنة. كما أنها تستخدم في مجال الإحصاء ونظرية الاحتمالات لدراسة عمليات برنولي وأنماط النجاح والفشل المتكررة.

قانون بواسون

قانون بواسون هو توزيع احتمالي منفصل يمثل عدد الأحداث التي تحدث في فترة زمنية معينة أو مكان معين، في ظل ظروف معينة.

الخصائص الرئيسية لتوزيع بواسون هي كما يلي:

• الأحداث النادرة والمستقلة: ينطبق قانون بواسون عندما تقع الأحداث بطريقة نادرة ومستقلة، مما يعني أن احتمال وقوع أكثر من حدث واحد في فترة قصيرة من الزمان أو المكان لا يكاد يذكر.
• المعدل المتوسط ​​(و): تمثل المعلمة (و) متوسط ​​عدد الأحداث التي تحدث في المجال الزمني المحدد، وهو يميز شدة الحدث.
• المتغير العشوائي (أ): يمثل توزيع بواسون عدد الأحداث (ص) التي تحدث في الفترة الزمنية المحددة. يأخذ المتغير العشوائي (أ) قيما صحيحة غير سالبة (0، 1، 2، 3، ...) ويتبع توزيع بواسون.
• دالة الاحتمالية ح[أ]: تعطي دالة احتمالية توزيع بواسون احتمال وقوع (ص) أحداث (مثلا 5 أحداث) في المجال المحدد، وذلك بالصيغة التالية:

ح[أ = ص] = (ث^(-و) * و^ص) / ص!

حيث أن (ث) هو الثابت الرياضي لأويلر (حوالي 2.71828)، و (و) هو المعدل المتوسط ​​و (ص) هو عدد الأحداث.

التوقع والتباين:

التوقع (المتوسط) لتوزيع بواسون هو ت(أ) = و ، وكذلك التباين هو ب(أ) = و.

يستخدم قانون بواسون بشكل شائع لنمذجة الظواهر مثل وصول العملاء إلى المطعم، وأعطال الآلات، وحوادث الطرق، والأحداث النادرة وغير المتوقعة. إنها أداة مهمة في الإحصاء ونظرية الاحتمالات ونمذجة العمليات العشوائية.

للإطلاع على الجزء الأول: نظرية الإحتمال: إحتمالات أولي (أنقر هنا )

تحديث: صدر الجزء الثالث تحت عنوان: نظرية الاحتمال (جزء 3): قوانين الاحتمالات للمتغيرات المستمرة

-عبدالناصر البصري

للتواصل المباشر، تويتر: @abdennacerelb