قراءة لمدة 5 دقيقة نظرية الاحتمال (جزء 3): قوانين الاحتمالات للمتغيرات المستمرة
مقدمة:
هذا هو الجزء الثالث من سلسلة "نظرية الاحتمال" حيث أحاول عمل تطبيق عملي لتعريب الرموز الرياضياتية مع شرح لها، وهو النموذج الأول الذي سأبني عليه "لغة الترميز العربية" بإذن الله.
قد يكون هذا النص قد تغير في المادة النهائية بعد المناقشة والحصول على ملاحظات المجتمع الرقمي (المهتم) حوله وأخذ تعديلاتهم ومقترحاتهم بعين الاعتبار أثناء إنجاز المادة النهائية، التي سأنشرها في مكتبة المواد المترجمة هنا في دار المترجم.
نص المقال:
قوانين الاحتمالات للمتغيرات المستمرة
قوانين الاحتمالات للمتغيرات المستمرة هي توزيعات احتمالية تمثل سلوك المتغيرات العشوائية المستمرة.
على عكس المتغيرات المنفصلة، يمكن للمتغيرات المستمرة أن تأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم في فترة زمنية معينة، وفيما يلي بعض قوانين الاحتمال المستمر الأكثر استخدامًا:
التوزيع الطبيعي (أو التوزيع الغوسي):
يعد التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات في الإحصاء، وهو متماثل ويوصف بمعلمتين: المتوسط (مُ) والانحراف المعياري (تِ)، وغالبًا ما يستخدم لنمذجة الظواهر الطبيعية مثل توزيع الطول والوزن وما إلى ذلك.
دالة الكثافة الاحتمالية: يتم الحصول على الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر الذي يتبع التوزيع الطبيعي بواسطة الصيغة:
دَ(أ) = (1 \ (تِ جِ(2بَ))) * هَـ( (أ - مُ) \ 2تِ )
- دَ(أ) : هي قيمة الكثافة الاحتمالية عند نقطة معينة (أ).
- (بِ) : هو ثابت رياضي (حوالي 3.14159).
- هَـ : هو الثابت الرياضي لأويلر (حوالي 2.71828).
القانون الأسي:
يستخدم القانون الأسي لنمذجة الوقت بين الأحداث في عملية بواسون، مثل الوقت بين المكالمات الهاتفية في مركز الاتصال.
دالة الكثافة الاحتمالية: يتم الحصول على الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي X الذي يتبع القانون الأسي بواسطة الصيغة:
دَ(أ) = لاَ * هَـ^(-لا * أ)
إذا كان أ > 0 ، ((أ) أصغر من 0)، فإن دَ(أ) = 0
- (لاَ): يتميز القانون الأسي بمعلمة واحدة هي (لامدا)، والتي تسمى معدل الفشل.
- تمثل هذه المعلمة متوسط عدد الأحداث لكل وحدة زمنية أو مساحة، كلما زاد حجم (لاَ) كلما حدثت الأحداث بشكل متكرر.
- دَ(أ): هي قيمة الكثافة الاحتمالية عند نقطة معينة (أ).
- (هَـ): هو الثابت الرياضي لأويلر (حوالي 2.71828).
التوقع والتباين:
التوقع (المتوسط) للمتغير العشوائي الأسي هو تَ(أ) = 1/لاَ ، والتباين هو بَ(أ) = 1/لاَ².
القانون الموحد:
يعين القانون الموحد احتمالًا ثابتًا لجميع النقاط في فترة زمنية معينة، وهذا يعني أن كل نقطة في هذا المجال (الفترة) الزمني لها احتمالية متساوية للملاحظة، ويتميز التوزيع بكثافة احتمالية ثابتة. يتم استخدامه غالبًا عندما يكون لكل قيمة في الفاصل الزمني نفس احتمالية الحدوث.
دالة الكثافة الاحتمالية:
الكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي لهذه الفترة. خارج الفترة، كثافة الاحتمال هي صفر.
دَ(أ) = 1 \ (ب\ن)
في حالة لم يكن (أ) ضمن النطاق (ب، ن) فإن دَ(أ) = 0
- دَ(أ): هي قيمة الكثافة الاحتمالية عند نقطة معينة (أ).
- ب: بداية الفترة.
- ن: نهاية الفترة.
التوقع والتباين:
التوقع (المتوسط) للمتغير العشوائي الأسي هو تَ(أ) = (ب + ن) \ 2 ،
والتباين هو بَ(أ) = 1/ (ب + ن)² \ 12
الانحراف المعياري (تِ): هو باختصار الجذر مربع للتباين، أي: تِ(أ) = جِـ(1/ (ب + ن)² \ 12)
خلاصة:
تعتبر قوانين الاحتمالية المستمرة هذه ضرورية في الإحصاء وعلوم البيانات لأنها تسمح بنمذجة وتحليل مجموعة واسعة من ظواهر العالم الحقيقي. ولكل قانون خصائصه وتطبيقاته الخاصة حسب نوع البيانات والمشكلة المطروحة.
لذا، "= 1 - P(X2 ≤ x1)" يمكن أن يتحول إلى "= 1 - x1".
- الجزء الأول: نظرية الإحتمال: إحتمالات أولي (أنقر هنا )
- الجزء الثاني: نظرية الاحتمال (جزء 2): المتغيرات العشوائية المنفصلة
-عبدالناصر البصري
للتواصل المباشر، تويتر: @abdennacerelb